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प्रश्‍नावली 1.2

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Question 1 :

सिद्ध कीजिए कि f(x) = \frac{1}{x} द्वारा परिभाषित फलन f : R* → R*, एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R*, सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R*, को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत ही रहे, तो भी कया यह परिणाम सत्य होगा?

Solution :

  1. f(x) = \frac{1}{x} यदि f(x1) = f(x2) ⇒ \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} ∴ x1 = x2
    ⇒ प्रांत के प्रत्येक अवयव का एक ही प्रतिबिम्ब है।
    ∴ f एकैकी फलन है।
    हमें दिया है y = \frac{1}{x},, इसलिए x = \frac{1}{y}, y ≠ 0, सहप्रांत का प्रत्येक अवयव, प्रांत ‘के कर्शः एक ही अवयव का प्रतिबिम्ब है।
    ∴ f आच्छादक फलन है।
    ⇒ f एक एकैकी व अच्छादक फलन है।
  2. जब प्रांत R, को N से बदल दिया जाए तथा सहप्रांत R वही रहें तो f : N → R.
    यदि f(x1) = f(x2) ⇒ \frac{1}{x} = \frac{1}{x_2}⇒ x1 = x2 ∈ N ⇒ f एकैकी है।
    परन्तु हो सकता है कि प्रत्येक सहप्रात का अवयव प्रांत के अवयव का प्रतिबिम्ब न हो।
    जैसे \frac{3}{2} सहप्रांत में है तो \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}
    जबकि \frac{2}{3} ∈ N अर्थात \frac{2}{3} प्रांत में नहीं है |
    ⇒ f आच्छादक नहीं है।
    इस प्रकार f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।

Question 2 :

निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिएः

  1. f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
  2. f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
  3. f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है।
  4. f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
  5. f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।

Solution :

  1. f : N → N और f(x) = x2
    f(x1) = f(x2) ⇒ x21 = x21 ⇒ x1 = x2, x1, x2 ∈ N
    ∴ f एकैकी है।
    परन्तु सहप्रांत में ऐसे अवयव हैं जो प्रांत के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। जैसे : मान लीजिए 3 सहप्रांत में है तो 3 प्रांत के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
    ⇒ ∴ f आच्छादक नहीं है।
    अतः f एकैकी है परन्तु आच्छादक नही है।
  2. f : Z → Z जबकि f(x) = x2
    f(-1) = f(1) = 1 ⇒ -1 और 1 का प्रतिबिम्ब भिन्न नहीं है।
    => f एकेकी नहीं है।
    सहप्रांत में ऐसे अवयव है जो प्रांत के किसी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं है। जैसे 3 सहप्रांत के 3, प्रांत केकिसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
    ⇒ ∴ f आच्छादक नहीं है।
    अतः f एकैकी नहीं है और न ही आच्छादक हैं।
  3. f : R → R जबकि f(x) = x2
    (-1)2 = 12 ⇒ f(-1) = (1)
    अतः -1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है।
    ∴ f एकैकी नहीं है।
    -2 सहप्रांत में है परन्तु यह प्रांत के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
    ∴ f आच्छादक नहीं है।
    ⇒ f न तो एकैकी और न ही आच्छादक है।
  4. f : N → N जबकि f(x) = x3
    f(x1) = f(x2) ⇒ x31 = x32 => x1 = x2
    प्रत्येक x € N का एक प्रतिबिम्ब है
    ∴ f एकैकी है।
    सहप्रांत के बहुत से ऐसे अवयव हैं जिनके वे प्रांत केकिसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे 2, 3, 4, .. ये प्रांत के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं है। f आच्छादक नहीं है।
    ⇒ f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।
  5. f : Z → Z जबकि f(x) = x3
    f(x1) = f(x2) ⇒ x31 = x32, x1 = x2
    ∴ f एकैकी है।
    f के सहप्रात के बहुत से अवयव है जो प्रांत के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। जैसे 2, 3, 50
    ∴ f आच्छादक नहीं है।
    ⇒ f एकैकी है परन्तु आच्छादक नही है।

Question 3 :

सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णाक को निरूपित करता है।

Solution :

f : R -> R जबकि f(x) = [ x ]

  1. f(1.3) = 1, f(1.6) = 1
    इसलिए 1.3 और 1.6 का प्रतिबिम्ब एक ही है। इसलिए f एकैकी नहीं है।
  2. प्रांत f में x e R पर का प्रतिबिम्ब एक पूर्णाक है |
    अतः सहप्रांत का अवयव जो पूर्णाक न हो, वह प्रांत के किसी भी
    अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है
    f आच्छादक नहीं है।

f न ही एकैकी है और T हीं आच्छादक है।

Question 4 :

सिद्ध कीजिए कि f(x) = | X | द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ | X | बराबर x, यदि x धन या शून्य है तथा |X| बराबर – x, यदि x ऋण है।

Solution :

f : R -> R जबकि f(x) = | x |

  1. f(-1) = |-1| = 1, f(1) = |1| = 1
    -1 और 1 का एक ही प्रतिबिम्ब है।
    एकैकी नहीं है।
  2. सहप्रांत की कोई भी ऋणात्म
    का प्रतिबिम्ब नहीं है।
    f आच्छादक नहीं है।

न ही एकैकी है और न ही आच्छादक है।

Question 5 :

सिद्ध कोजिए कि f : R – > R,

f(x) = \begin{cases} 1, &\text{यदि } x > 0 \\ 0, &\text{यदि } x = 0 \\ – 1, &\text{यदि } x < 0 \end{cases}

द्वारा प्रदत्त चिन्ह् फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

Solution :

f : R -> R जबकि f(x)

  1. f(1) = f(2) = 1
    1 और 2 का एक ही f – प्रतिबिम्ब है।
    {एकैकी नहीं है |
  2. 1, 0, -1 ही प्रतिबिम्ब है। अन्य कोई भी. संख्या प्रांत के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नही है।
    f आच्छादक नहीं है।

f न तो एकैकी है ओर न ही आच्छादक है।

Question 6 :

मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = { (1, 4), (2, 5),(3, 6)} A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।

Solution :

A = {1, 2, 3}
B = {4, 5, 6, 7}

f : A -> B इस प्रकार है कि f = { (1, 4), (2, 5), (3, 6) } A के प्रत्येक अवयव का भिन्न-भिन्न प्रतिबिम्ब है।

इसलिए f एकैकी है।

Question 7 :

निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

  1. f(x) = 3 – 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
  2. f(x) = 1 + x2 द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।

Solution :

Question 8 :

मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A B → B % A, इस प्रकार कि f(a, b) = (b, a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।

Solution :

f : (A x B) -> (B x A) इस प्रकार है कि f(a, b) = (b, a)

  1. f(a1, b1) = f(a2, b2) => (b1, a1) = (b2, a2)
    b1 = b2 और a1 = a2
  2. सहप्रात का सदस्य (p, ५) प्रांत के (4, p) कां प्रतिबिम्ब हे |
    {अच्छादक है |

/एकेकी तथा आच्छादक है |

Question 9 :

मान लीजिए कि समस्त n N के लिए,

f(n) = \begin{cases} \frac{n + 1}{2}, &\text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}, &\text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि कया फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

Solution :

हलः /: पि -> N इस प्रकार परिभाषित है कि

f(n) = \begin{cases} \frac{n + 1}{2}, &\text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}, &\text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}

  1. । ओर 2 का /- प्रतिबिम्ब 78
    / एकैकी नहीं है |
  2. सहप्रांत का प्रत्येक सदस्य प्रांत कै किसी न किसी सदस् का प्रतिबिम्ब है जैसे १, संख्या : औ र 2 का प्रतिबिम्ब है
    {आच्छादक है |

= /एककी नहीं है परन्तु आच्छादक है।

Question 10 :

मान लीजिए कि A = R − {3} तथा B = R − {1} हैं। f(x) = \left(\frac{x – 2}{x – 3}\right) द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

Solution :

हल: /: 4 > 9 जबकि 4 = [२- {3}, B=R-{l}fa द्वारा परिभाषित किया गया & |

  1. /एकैकी है |
  2. मान लीजिए
    ४ = | को छोड़कर y की प्रत्येक मान & लिए » का मान न्नात कर सकते
    आच्छादक है |

f एककी, तथा आच्छादक है |

Question 11 :

मान लीजिए कि f : R → R, f(x) = x4 द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।

(A) f एकैकी आच्छादक है

(B) f बहुएक आच्छादक है

(C) f एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है

(D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

Solution :

f:R -> र जबकि (४) =

  1. न) = (नि) निया
    क) = (0)
    और का प्रतिबिम्ब ]है।
    {एकैकी नहीं है।
  2. f सहप्रांत का – प्रांत के किसी भी सदस्य का प्रतिबिम्ब नहीं है |
    {आच्छादक नहीं है |

f न एकैकी है ओर न आच्छादक है
भाग (D) सही उत्तर है]

Question 12 :

मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है। सही उत्तर चुनिए:

(A) f एकैकी आच्छादक है

(B) f बहुएक आच्छादक है

(C) f एकैकी है परंतु आच्छादक नहीं है

(D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है

Solution :

हलः ¢: [र -» र तथा {को (८) = 3: हारा परिभाषित किया गया हे। |

अत: / एकैकी है |

(४) मान लीजिए

., ॥ आच्छादक है ।

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