प्रश्‍नावली 1.1

1. समुच्चय A = {1, 2, 3, …, 13, 14 } तथा R = { (x, y) : 3x − y = 0 }
   1. y = x रखने पर 3x − x = 2x ≠ 0, इसलिए x ≠ 0 हो तो R स्वतुल्य नहीं है।
   2. x और y को आपस में बदलने पर यदि 3x − y = 0, 3y − x ≠ 0, इसलिए R सममित नहीं है।
   3. यदि 3x − y = 0, 3y − z = 0 तब 3y − z ≠ 0 इसलिए R संक्रामक नहीं हैं।
   ⇒ R न तो स्वतुल्य है, न ही सममित है और न ही संक्रामक है।
2. A प्राकृत संख्याओं का समुच्चय {1, 2, 3, 4, … } में R = { (x, y) : y = x + 5, x < 4 } = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)} तो स्पष्ट है यह सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं है, न ही सममित है ओर न ही संक्रामक है।
3. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} R = { (x, y) : y संख्या x से भाज्य है } = {(1, 1), (1, 2) 1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
   1. (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) R है, इसलिए R स्वतुल्य है।
   2. यदि y संख्या x से भाज्य है तो x संख्या y से भाज्य नहीं है। जैसे (1, 2) ∈ R परन्तु (2, 1) ∈ R
      इसलिए R सममित नहीं है |
   3. (1, 2), (2, 4) ∈ R, (1, 4) भी R में है इसी प्रकार (1, 3), (3, 6) ∈ R तब (1, 6) ∈ R. इसलिए R संक्रामक है ।
   ⇒ R सममित नहीं है पर स्वतुल्य है और संक्रामक है
4. A = पूर्णाको का समुच्चय […, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …] R = {(x, y): x − y एक पूर्णांक है}
   1. x − x = 0, एक पूर्णाक है। इसलिए R स्वतुल्य है।
   2. x − y तथा y − x दोनों ही पूर्णाक है। इसलिए R सममित है।
   3. x − y तथा y − z दोनों ही पूर्णाक है तथा x − z भी पूर्णाक है। इसलिए R संक्रामक है।
   ⇒ R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है।
5. A = एक नगर के एक विशेष समय पर रहने वालों का समुच्चय
   1. R = { (x, y) : x और y दोनों ही एकं ही स्थान पर कार्यरत हैं}
      R स्वतुल्य है क्योकि प्रत्येक व्यक्ति उस नगर में उस विशेष समय पर कार्यरत है।
      R सममित है। x, y एक ही स्थान पर एक समय पर कार्यरत है तो y, x भी उस स्थान पर उस समय कार्यरत है।
      R संक्रामक है यदि x, y तथा y, z एक नगर में एक ही समय पर कार्यरत हैं तो उस नगर में उसी समय x, z भी कार्यरत है।
      इस प्रकार R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
   2. R = { (x, y) : x और y एक ही स्थान पर रहते है }
      R स्वतुल्य है। उस स्थान का प्रत्येक व्यक्ति वहीं पर रहता है।
      R सममित है x और y एक स्थान पर रहते है तो उसी स्थान पर y और x भी रहते है।
      R संक्रामक है। x, y तथा y, z एक स्थान पर रहते है तो x, z भी उसी स्थान पर रहते है। अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
   3. R = { (x, y): x, y से ठीक 7 cm अधिक लम्बा है }
      यह स्वतुल्य नहीं है कोई भी व्यक्ति अपने से 7 cm अधिक लम्बा नहीं हो सकता
      यह सममित नहीं है यदि y, x से ठीक 7 cm अधिक लम्बा हो तो x, y से 7 cm लम्बा नहीं हो सकता
      यह संक्रामक नहीं है। x, y से तथा y, z से ठीक 7 cm लम्बे तो से ठीक 7 cm अधिक लम्बे नहीं है,
      अतः R स्वतुल्य, सममित, संक्रामक में से कोई भी नही है।
   4. R = {(x,y): x, y की पत्नी है }
      यह स्वतुल्य नहीं है। x अपनी ही पत्नी नहीं हो सकती यह सममित नहीं है। यदि x, y की पत्नी है तो y, x की पत्नी नहीं हो सकती।
      यह संक्रामक नहीं है। यदि x, y की. पत्नी है तो y किसी की भी पत्नी नहीं है।
      अतः R स्वतुल्य, सममित व संक्रामक में से कोई भी नही है।
   5. R = {(x, y) : x, y का पिता है। R स्वतुल्य नहीं है, x अपना ही पिता नहीं हो सकता यह सममितं नहीं है। यदि x, y का पिता है तो y, x का पिता नहीं हो सकता। R संक्रामक नहीं है। यदि x, y का y, z का पिता हो तो x, z का पिता नहीं हो सकता। अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक में से कोई भी नहीं है।

A = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
R = { (a, b) : a ≤ b² }

1. R स्वतुल्य नहीं है। \frac{1}{2}, \frac{1}{4} से कम नहीं है।
2. R सममित नहीं है। यदि a ≤ b² तो b, a² से कम या बराबर नहीं है जैसे 2 < 5² परन्तु 5, 2 से कम नहीं है।
3. R संक्रामक नहीं हे। मान लीजिए a = 2, b = − 2 और c = − 1 तब 2 < (− 2)², − 2 < (− 1)² परन्तु 2 से कम (− 1)² नहीं है।

इस प्रकार R स्वतुल्य, सममित व संक्रामक में कोई भी नही है |

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
R = { (a, b) : b = a + 1 }

1. यह स्वतुल्य नहीं है। a, a + 1 के बराबर नहीं हो सकता।
2. R सममित नहीं है। यदि b = a + 1 तब a ≠ b + 1
3. R संक्रमक नहीं है यदि b = a + 1, c = b + 1 तो c ≠ a + 1

इस प्रकार R स्वतुल्य, सममित व संक्रामक में कोई भी नही है |

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
R = { (a, b) : b = a + 1 }

1. R स्वतुल्य है। a ≤ a ⇒ a = a
2. R सममित नहीं है। यदि a, b से कम है तो b, a से कम नहीं है
3. R संक्रमक है यदि a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c

⇒ R स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है |

A = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
R = { (a, b) : a ≤ b³ }

1. R स्वतुल्य नहीं है। यदि a = \frac{1}{2}, b³ = \frac{1}{8} इस प्रकार \frac{1}{2}\,,\frac{1}{8} से कम नहीं है।
2. R सममित नहीं है। यदि a ≤ b³ तो b, a³ कम या बराबर नहीं है। जैसे a = 1, b = 2, 1 < 2³ परन्तु 2, 1³ से कम नहीं है।
3. R संक्रामक नहीं है | यदि a ≤ b³, b ≤ c³ तो a ≤ c³ का सत्य होना आवश्यक नहीं है। जैसे a = 7, b = 2, c = 1.5 तो a < b³ ⇒ 7 < 2³ = 0 सत्य है, b ≤ c3, 2 < (1.5)³ सत्य है परन्तु 7 < (1.5)³ सत्य नहीं ।

⇒ R स्वतुल्य, सममित व संक्रामक में से कोई भी नहीं है।

A = {1, 2, 3}
R = { (1, 2), (2, 1) }

1. R स्वतुल्य नहीं है। (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∉ R
2. R सममित हे। (1, 2) ∈ R और (2, 1) ∈ R
3. R संक्रामक नहीं है। R में केवल 2 ही अवयव है।

⇒ R सममित है परन्तु स्वतुल्य और संक्रामक नहीं है।

A = एक महाविद्यालय कं पुस्तकालय की सभी पुस्तके
R = { (x, y), x ओर y मे पृष्ठों की संख्या बराबर है }

1. R स्वतुल्य है। बराबर पृष्ठों वाली प्रत्येक पुस्तक में उतने ही पृष्ठ होंगें।
2. R सममित है। x, y पुस्तकों में पृष्ठ बराबर हैं तो y, x पुस्तकों में भी पृष्ठ बराबर होंगे।
3. R संक्रमक है। x, y तथा y, z पुस्तकों में पृष्ठ बराबर है तो x, z पुस्तकों में भी पृष्ठ बराबर होंगे।

⇒ R तुल्यता सम्बन्ध है।

A = {1, 2, 3, 4, 5}
R = { (a, b) : |a – b| एक सम है }

1. 1. R स्वतुल्य है। a − a = 0 सम संख्या है।
   2. R सममित है। |a − b| = | b − a | = सम संख्या
   3. R संक्रमक है। a − c = a − b + b − c, a − c और b − c सम संख्याएं है तो a − c भी सम संख्या है।
   4. R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
2. समुच्चय { 1, 3, 5 } में |1 − 3|, |1 − 5|, |3 − 5| सभी संख्याएँ सम है। इसके सभी अवयव एक दूसरे से सम्बन्धित है।
   सम्मुचय {2, 4} में |2 − 4| एक सम संख्या है। इसलिए इसके अवयव एक दूसरे से सम्बन्धित है। परन्तु {1, 3, 5}, {2, 4} के अवयव आपस में सम्बन्धित नहीं है। |1 − 2|, |3 − 4|, |4 − 5| एक सम संख्याएँ नहीं है।

A = { x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12} = {0, 1, 2, 3, …, 12}

1. R = {(a, b) : |a – b|, 4 का एक गुणज है}
   = {(1,5), (1, 9), (2, 6), (2, 10), (3, 7), (3, 11), (4, 8), (4, 12), (5, 9), (6, 10), (7, 11), (8, 12), (0, 4), (0, 8), (0, 12), (0, 0) (1, 1), (2, 2), …, (12, 12)
   R स्वतुल्य है। a − a = 4k ⇒k = 0
   R सममित है। |a − b| = |b − a| = 4k
   R संक्रामक है। a − c = a − b + b − c, a − b और b − c यदि 4 के गुणज हैं तो a − c भी 4 का गुणज है।
   ⇒R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
   1 से सम्बन्धित समुच्च {1, 5, 9}
2. {(0, 0), (1, 1), (2, 2), …, (12, 12)}
   R स्वतुल्य है। A का प्रत्येक अपने के बराबर है।
   R सममित है। a = b ⇒ b = a
   R संक्रामक है। यदि a = b, b = c ⇒ a = c अर्थात a, b, c तीनों बराबर है।
   ⇒ R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
   1 से सम्बन्धित समुच्चय {1}.

1. A = एक समतल में सरल रेखाओं का समुच्चय
   R = { (a, b) : a, b पर लम्ब है }
   रेखा a, b पर लम्ब है। तो b रेखा a प्रर लम्ब है |
   R सममित सम्बन्ध है।
   R स्वतुल्य नहीं है। रेखा a अपने ही लम्ब नहीं हो सकती।
   R संक्रामक नहीं है। a रेखा b पर लम्ब है, b रेखा c पर लम्ब है परन्तु a रेखा c पर लम्ब नहीं है।
2. A = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
   R = { (a, b) : a > b }
   R संक्रामक है। यदि a > b और b > c ⇒ a>c
   R स्वतुल्य नहीं है। a अपने आप से बडी संख्या नहीं है।
   R सममित नहीं है। यदि दर a > b तो b, a से बड़ा नहीं है।
3. A = {1, 2, 3}
   R = { (a, b) : a + b ≤ 4}
   R स्वतुल्य है। (1, 1), (2, 2) ∈ R
   R सममित है। (1, 2), (2, 1) ∈ R, (1, 3), (3, 1) ∈ R
   R संक्रामक नहीं है। 1 + 3 < 4, 2 + 3, 4 से कम नहीं है।
4. A = {1, 2, 3}
   R = { (a, b) : a ≤ b }
   R स्वतुल्य है। (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R
   R सममित है। (1, 2), (2, 3) ∈ R ⇒ (1,3) ∈ R
   R संक्रामक नहीं है। a < b परन्तु b, a से कम नहीं है।
5. A = {1, 2, 3}
   R = { (a, b) : 0 < |a − b | ≤ 2}
   R स्वतुल्य है। (1, 1), (2, 2) (3, 3) ∈ R में नहीं है।
   R सममित है। (1, 3) ∈ R, (3, 1) ∈ R, इसी प्रकार (1, 3) ∈ R, (3, 1) ∈ b
   R संक्रामक नहीं है। (1, 2), (2, 3) ∈ R ⇒ (1, 3) ∈ R

A : समतल में बिंदुओं का समुच्चय
R = { (P, Q) : बिंदु P को मूल बिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है }

1. R स्वतुल्य है। OP अपने ही बराबर है।
2. R सममित है। यदि OP = OQ ⇒ OQ = OP
3. R संक्रमक है। यदि OP = OQ, OQ = OR ⇒ OP = OR

इसलिए R तुल्यता सम्बन्ध है।

मान लीजिए OP = k ⇒ बिंदु P एक वृत पर रहता है जो O से k दूरी पर है।

A = एक समतल में त्रिभुजों का समुच्चय
R = { (T₁, T₂) : T₁, T₂ के समरूप है }

1. R स्वतुल्य है। प्रत्येक त्रिभुज अपने समरूप है।
2. R सममित है। यदि त्रिभुज T₁ त्रिभुज T₂ के समरूप है तो त्रिभुज T₂ त्रिभुज T₁ के भी समरूप हैं।
3. R संक्रमक है। यदि त्रिभुज T₁, T₂ और त्रिभुज T₂, T₃ समरूप है तो त्रिभुज T₁, T₃ भी समरूप है।

R तुल्यता सम्बन्ध है।

त्रिभुज T₁ की भुजाएं 3, 4, 5 है, त्रिभुज T₂ की भुजाएं 5, 72, 3 है तथा त्रिभुज T₃ की भुजाएं 6, 8, 0 है। त्रिभुज T₁ और T₃ की भुजाएं समानुपाती है। इस लिए यह समरूप है ।

त्रिभुज T₁ ओर T₃ आपस में सम्बन्धित है।

A : बहुभूजों का समुच्चय
R = { (P₁, P₂) : P₁ तथा P₂, की भुजाओं को संख्या समान है }

1. R स्वतुल्य है। किसी भी बहुभुज की भुजाओं की संख्या समान रहती है।
2. R सममित है। यदि बहुभुज P₁, P₂ की भुजाएँ n है तो बहुभुज P₂ और P₁ की भुजाएँ भी n होगी।
3. R संक्रमक है। यदि बहुभुज P₁, P₂ और P₂, P₃ प्रत्येक की n भुजाएँ है तो P₁ और P₃ की भी n भुजाए हैं।

इसलिए R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

सभी त्रिभुजों का समुच्चय त्रिभुज T से सम्बन्धित है।

L= XY समतल में सभी रेखाओं का समुच्चय
R = { (L₁, L₂) : L₁ समान्तर है }

1. R स्वतुल्य है। प्रत्येक रेखा अपने ही समान्तर है।
2. R सममित है। यदि L₁ रेखा L₂ समान्तर है तो L₂ रेखा L₁ के समान्तर है।
3. R संक्रामक है। यदि L₁, L₂, और L₂, L₃, समान्तर रेखाएं हैं तो L₁ और L₃ भी. समान्तर रेखाएं है।

⇒ R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

y = 2x + c जबकि c कोई भी स्वेच्छ (arbitrary) मान रखता है। इसलिए y = 2x + 4 से सम्बन्धित रेखाओं का समुच्चय y = 2x + c है।

A = {1, 2, 3, 4}
R = { (1, 2), (2, 2), (1, 2), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2) }

1. R स्वतुल्य हेै। (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R
2. R सममित नहीं है। (1, 2) ∈ R परन्तु (2, 7) ∉ R
3. R संक्रामक है। (1, 3) ∈ R, (3, 2) ∈ R तथा (1, 2) ∈ R

⇒ R स्वतुल्य है संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।

इसलिए भाग (B) सही उत्तर है।

A = N, प्रकृत संख्याओं का समुल्चय
R = { (a, b) : a = b − 8, b > 6 }

a = b − 2, b > 6
b = 8 के लिए a = 8 − 2 = 6 ⇒ (6, 8) ∈ R

इसलिए भाग (C) सही उत्तर है।