Trigonometry

भूमिका (Introduction)

कोण (Angles)

किरण के घूर्णन की मूल स्थिति को प्रारंभिक भुजा तथा घूर्णन के अंतिम स्थिति को कोण की अंतिम भुजा कहते हैं। घूर्णन बिंदु को शीर्ष कहते हैं।

यदि घूर्णन वामावर्त्त है तो कोण घनात्मक तथा यदि घूर्णन दक्षिणावर्त्त है तो कोण ऋणात्मक कहलाता है।

दो कोणों के योग और अंतर का त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions of Sum
and Difference of two Angles)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

1. \sin\left(-x\right) = – \sin x
2. \cos(-x) = \cos x
3. \cos(x + y) = \cos x \cos y – \sin x \sin y
4. \cos(x – y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y
5. \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
6. \sin(x – y) = \sin x \cos y – \cos x \sin y
7. \tan(x + y) = \dfrac{\tan x + \tan y}{1 – \tan x \tan y}
8. \tan(x – y) = \dfrac{\tan x – \tan y}{1 + \tan x \tan y}
9. \cot(x + y) = \dfrac{\cot x \cot y – 1}{\cot y + \cot x}
10. \cot(x – y) = \dfrac{\cot x \cot y + 1}{\cot y – \cot x}
11. \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin x
12. \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cos x
13. \tan\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cot x
14. \sec\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \text{cosec } x
15. \text{cosec}\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sec x
16. \cot\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \tan x
17. \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = – \sin x
18. \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x
19. \cos\left(\pi – x\right) = – \cos x
20. \sin\left(\pi + x\right) = – \sin x
21. \cos\left(2\pi + x\right) = \cos x
22. \sin\left(2\pi + x\right) = – \sin x
23. \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2 \sin^2 x = \dfrac{1 – tan^2 x}{1 + \tan^2 x}
24. \sin 2x = 2\sin x \cos x = \dfrac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}
25. \tan 2x = \dfrac{2\tan x}{1 – \tan^2 x}
26. \sin 3x = 3 \sin x – 4 \sin^3 x
27. \tan 2x = \dfrac{2\tan x}{1 – \tan^2 x}
28. \sin 3x = 3 \sin x – 4 \sin^3 x
29. \cos 3x = 4 \cos^3 x – 3 \cos x
30. \tan 3x = \dfrac{3\tan x – \tan^3 x}{1 – 3\tan^2 x}
31. \cos x + \cos y = 2\cos\dfrac{x + y}{2}\cos\dfrac{x – y}{2}
32. \cos x – \cos y = 2\sin\dfrac{x + y}{2}\sin\dfrac{x – y}{2}
33. \sin x + \sin y = 2\sin\dfrac{x + y}{2}\cos\dfrac{x – y}{2}
34. \sin x + \sin y = 2\cos\dfrac{x + y}{2}\sin\dfrac{x – y}{2}
35. 2\cos x \cos y = \cos(x + y) + \cos(x – y)
36. 2\sin x \sin y = \cos(x + y) – \cos(x – y)
37. 2\sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x – y)
38. 2\cos x \sin y = \sin(x + y) – \sin(x – y)