कक्षा 12 | अध्याय - 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत

अध्याय – 4
गणितीय आगमन का सिद्धांत
(Principle of Mathematical Induction)

गणितीय आगमन का सिद्धांत को Short Solution और PDF Download में बहुत विसतार में समझने आसन हो जायेगा।

प्रश्ननावली 4.1

प्रश्ननावली 4.1

सभी n ∈ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:

Question 1 :

1 + 3 + 3² + … + 3ⁿ⁻¹ = \frac{(3^n – 1)}{2}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 + 3 + 3² + … + 3ⁿ⁻¹ = \frac{(3^n – 1)}{2}

∴ n = 1 के लिए

L.H.S. = 1

R.H.S. = \frac{3^1 – 1}{2} = 1

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

P(k) = 1 + 3 + 3² + … + 3^k-1 = \frac{(3^k – 1)}{2} … (i)

अब,

= (1 + 3 + 3² + … + 3^k-1) + 3^k

= \frac{(3^k – 1)}{2} + 3^k … [eq(i) से]

= \frac{3^k – 1 + 2 \cdot 3^k}{2}

= \frac{3^{(k + 1)} – 1}{2}

P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 2 :

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

∴ n = 1 के लिए

L.H.S. = 1³ = 1

R.H.S. = \frac{(3^1 – 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

P(k) = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 … (i)

अब,

= 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³

= (1³ + 2³ + 3³ + … + k³) + (k + 1)³

= \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k + 1)³ [eq(i) से]

= (k + 1)² ⋅ \frac{k^2 + 4(k + 1)}{4}

= \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}

= \left(\frac{(k + 1)[(k + 1) + 1]}{2}\right)^2

P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 3 :

1 + \frac{1}{(1+2)} + \frac{1}{(1+2 + 3)} + \dots + \frac{1}{(1+2 + 3 + \dots n)} = \frac{2n}{(n + 1)}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 + \frac{1}{(1+2)} + \frac{1}{(1+2 + 3)} + \dots + \frac{1}{(1+2 + 3 + \dots n)} = \frac{2n}{(n + 1)}

∴ n = 1 के लिए

L.H.S. = 1

R.H.S. = \frac{2\times 1}{1 + 1} = 1

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1 + \frac{1}{(1+2)} + \frac{1}{(1+2 + 3)} + \dots + \frac{1}{(1+2 + 3 + \dots k)} = \frac{2k}{(k + 1)} \quad … \text{(i)}

अब,

\begin{aligned} &= \left[1 + \frac{1}{(1+2)} + \frac{1}{(1+2 + 3)} + \dots + \frac{1}{(1+ 2 + 3 + \dots k)}\right] + \frac{1}{(1+ 2 + 3 + \dots k + (k + 1))} \\ &= \frac{2k}{(k + 1)} + \frac{1}{(1+ 2 + 3 + \dots k) + (k + 1)} \qquad \text{[eq(i) से]}\\\\ &\qquad [\therefore 1 + 2 + 3 + .. + n = \frac{n(n + 1)}{2} \text{ रखने पर }]\\\\ &=\frac{2k}{(k + 1)} + \frac{1}{\frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1)}\\ &= \frac{2k}{(k + 1)} + \frac{2}{(k+1)(k + 2)} \\ &= \frac{2}{(k+1)}\left[\frac{k^2 + 2k + 1}{k + 2}\right] \\ &= \frac{2\left(k + 1\right)^2}{(k+1)(k + 2)}\\ &= \frac{2(k + 1)}{(k + 2)}\\ &= \frac{2(k + 1)}{(k + 1) + 1}\\ \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 4 :

1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)( +2)(n+3)}{4}

∴ n = 1

L.H.S. = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6

R.H.S. = \frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}

अब,

\begin{aligned} &= \left(1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1)(k+2)\right) + (k+1)(k+2)(k + 3) \\ &= \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k + 3) \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= (k+1)(k+2)(k+3)\left(\frac{k + 4}{4}\right) \\ &= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k + 4)}{4} \\ &= \frac{(k+1)[(k+1)+1][(k + 1)+2][(k + 1)+3]}{4} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 5 :

1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3² + 3 ⋅ 3³ + … + n ⋅ 3ⁿ = \frac{(2n -1)3^{n+1} + 3}{4}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3² + 3 ⋅ 3³ + … + n ⋅ 3ⁿ = \frac{(2n -1)3^{n+1} + 3}{4}

∴ n = 1 के लिए

L.H.S. = 1 ⋅ 3 = 3

R.H.S. = \frac{(2 \times 1 -1)\times 3^{1+1} + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3² + 3 ⋅ 3³ + … + k ⋅ 3^k = \frac{(2k -1)3^{k+1} + 3}{4}

अब,

\begin{aligned} &= \left[ 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + k \cdot 3^k\right] + (k + 1) \cdot 3^{k + 1}\\ &= \frac{(2k – 1)3^{k+1} + 3}{4} + (k + 1) \cdot 3^{k + 1} \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= \frac{(2k – 1)3^{k+1} + 4(k + 1) \cdot 3^{k + 1} + 3}{4} \\ &= \frac{3^{k+1}(2k – 1 + 4k + 4) + 3}{4} \\ &= \frac{(6k + 3)3^{k+1} + 3}{4} \\ &= \frac{3(2k + 1)3^{k+1} + 3}{4} \\ &= \frac{(2(k + 1) – 1)3^{(k+1) + 1} + 3}{4} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 6 :

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + … + n(n+1) = \left[\frac{n(n+1)(n + 2)}{3}\right]

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + … + n(n + 1) = \left[\frac{n(n+1)(n + 2)}{3}\right]

∴ n = 1

L.H.S. = 1 ⋅ 2 = 2

R.H.S. = \frac{1\times (1+1)(1 + 2)}{3} = \frac{6}{3} = 2

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + … + k(k + 1) = \left[\frac{k(k+1)(k + 2)}{3}\right]

अब,

\begin{aligned} &= 1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + (k+1)[(k+1) + 1] \\ &= \left[1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1)\right] + (k+1)[(k+1) + 1] \\ &= \left[\frac{k(k+1)(k + 2)}{3}\right] + (k+1)(k+2) \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= (k+1)(k + 2)\left[\frac{k}{3} + 1\right]\\ &= (k+1)(k + 2)\left[\frac{k + 3}{3}\right] \\ &= \frac{(k + 1)(k+2)(k+3)}{3} \\ &= \frac{(k + 1)[(k+1) + 1][(k+1) = 2]}{3} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 7 :

1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + … + (2n – 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n – 1)}{3}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1⋅3 + 3⋅5 + 5⋅7 + … + (2n – 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n – 1)}{3}

∴ n = 1

L.H.S. = 1 ⋅ 3 = 3

R.H.S. = \frac{1\times (4\times 1^2 + 6 \times 1 – 1)}{3} = \frac{4 + 6 – 1}{3} = \frac{9}{3}

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(n) = 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + … + (2k – 1)(2k + 1) = \frac{k(4k^2 + 6k – 1)}{3}

अब,

\begin{aligned} &= \left[1\cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1)\right] + (k+1)[(k+1) + 1] \\ &= \left[\frac{k(k+1)(k + 2)}{3}\right] + (k+1)(k+2) \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= (k+1)(k + 2)\left[\frac{k}{3} + 1\right]\\ &= (k+1)(k + 2)\left[\frac{k + 3}{3}\right] \\ &= \frac{(k + 1)(k+2)(k+3)}{3} \\ &= \frac{(k + 1)[(k+1) + 1][(k+1) + 2]}{3} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 8 :

1.2 + 2.2² + 3.2² + … + n.2ⁿ = (n – 1)2ⁿ⁺¹ + 2

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1.2 + 2.2² + 3.2² + … + n.2ⁿ = (n – 1)2^n + 1 + 2

∴ n = 1

L.H.S. = 1.2 = 2

R.H.S. = (1 – 1)2^1 + 1 + 2 = 0 + 2 = 2

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1.2 + 2.2² + 3.2² + … + k.2^k = (k – 1)2^k + 1 + 2

अब,

\begin{aligned} &= \left[ 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + k \cdot 3^k\right] + (k + 1) \cdot 3^{k + 1}\\ &= \frac{(2k – 1)3^{k+1} + 3}{4} + (k + 1) \cdot 3^{k + 1} \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= \frac{(2k – 1)3^{k+1} + 3 + 4(k + 1) \cdot 3^{k + 1}}{4} \\ &= \frac{(2k – 1)3^{k+1} + 4(k + 1) \cdot 3^{k + 1} + 3}{4} \\ &= \frac{3^{k+1}\left((2k – 1) + 4(k + 1) \right) + 3}{4} \\ &= \frac{3^{k+1}(2k – 1 + 4k + 4) + 3}{4} \\ &= \frac{(6k + 3)3^{k+1} + 3}{4} \\ &= \frac{3(2k + 1)3^{k+1} + 3}{4} \\ &= \frac{(2k + 1)3^{(k+1) + 1} + 3}{4} \\ &= \frac{(2(k + 1) – 1)3^{(k+1) + 1} + 3}{4} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 9 :

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1 – \frac{1}{2^n}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1 – \frac{1}{2^n}

∴ n = 1

L.H.S. = \frac{1}{2}

R.H.S. = 1 – \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}

L.H.S. = R.H.S. सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^k} = 1 – \frac{1}{2^k} \qquad …. (i)

अब,

\begin{aligned} &= \left[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{k}}\right] + \frac{1}{2^{k + 1}}\\ &= 1 – \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k + 1}} \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= 1 – \frac{1}{2^k}\left[1 – \frac{1}{2}\right]\\ &= 1 – \frac{1}{2^{k + 1}} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 10 :

\frac{1}{2\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n – 1)(3n + 2)} = \frac{n}{(6n + 4)}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

\frac{1}{2\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n – 1)(3n + 2)} = \frac{n}{(6n + 4)}

∴ n = 1

L.H.S. = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}

R.H.S. = \frac{1}{(6\times 1 + 4)} = \frac{1}{10}

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = \frac{1}{2\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3k – 1)(3k + 2)} = \frac{k}{(6k + 4)} \qquad …. (i)

अब,

\begin{aligned} &= \frac{1}{2\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3k – 1)(3k + 2)} + \frac{1}{(3k + 3 – 1)(3k + 3 + 2)}\\ &= \frac{k}{(6k + 4)} + \frac{1}{(3k + 2)(3k + 5)} \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= \frac{1}{(3k + 2)}\left[\frac{k}{2} + \frac{1}{(3k + 5)}\right] \\ &= \frac{k(3k + 5) + 2}{2(3k + 2)(3k + 5)} \\ &= \frac{3k^2 + 5k + 2}{2(3k + 2)(3k + 5)} \\ &= \frac{3k^2 + 3k + 2k + 2}{2(3k + 2)(3k + 5)}\\ &= \frac{3k(k + 1) + 2(k + 1)}{2(3k + 2)(3k + 5)}\\ &= \frac{(k + 1)}{2(3k + 5)}\\ &= \frac{(k + 1)}{(6(k + 1) + 4)} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 11 :

\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3\cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{n(n + 3)}{4(n + 1)(n + 2)}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = \frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3\cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{n(n + 3)}{4(n + 1)(n + 2)}

∴ n = 1

L.H.S. = \frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6}

R.H.S. = \frac{1\times(1 + 3)}{4(1 + 1)(1 + 2)} = \frac{1}{6}

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = \frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3\cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)} = \frac{k(k + 3)}{4(k + 1)(k + 2)} \qquad …. (i)

अब,

\begin{aligned} &= \left[\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3\cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)} \right] + \frac{1}{(k + 1)\lbrace(k + 1) + 1\rbrace\lbrace(k + 1) + 2\rbrace} \\ &= \left[\frac{k(k + 3)}{4(k + 1)(k + 2)}\right] + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)(k + 3)} \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}\left[\frac{k(k^2 + 6k + 9) + 4}{4(k + 3)}\right]\\ &= \frac{k^3 + 6k^2 + 9k + 4}{4(k + 1)(k + 2)(k + 3)}\\ &= \frac{k^3 + 5k^2 + 4k + k^2 + 5k + 4}{4(k + 1)(k + 2)(k + 3)}\\ &= \frac{(k + 1)(k^2 + 5k + 4)}{4(k + 1)(k + 2)(k + 3)}\\ &= \frac{(k + 1)\left[(k + 1)(k + 4) + (k + 4)\right]}{4(k + 1)(k + 2)(k + 3)}\\ &= \frac{(k + 1)(k + 4)}{4(k + 2)(k + 3)}\\ &= \frac{(k + 1)\left[(k + 1) + 3\right]}{4\left[(k + 1) + 1\right]\left[(k + 1)+ 2\right]} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 12 :

a + ar + ar² + … + ar^n – 1 = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = a + ar + ar² + … + ar^n – 1 = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}

∴ n = 1

L.H.S. = a

R.H.S. = \frac{a(r^1 – 1)}{r – 1} = a

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = a + ar + ar² + … + ar^k – 1 = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1} … (i)

अब,

\begin{aligned} &= \left[a + ar + ar^2 + \dots + ar^{k – 1}\right] + ar^k\\ &= \left[\frac{a(r^k – 1)}{r – 1}\right] + ar^k \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= a\left[\frac{r^k – 1 + r^k(r – 1)}{r – 1}\right]\\ &= a\left[\frac{r^k\left[1 + (r – 1)\right]- 1}{r – 1}\right]\\ &= a\left[\frac{r^k \cdot r- 1}{r – 1}\right]\\ &= a\left[\frac{r^{k + 1}- 1}{r – 1}\right]\\ &= \frac{a(r^{k + 1}- 1)}{r – 1} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 13 :

\left(1 + \frac{3}{1}\right)\left(1 + \frac{5}{4}\right)\left(1 + \frac{7}{9}\right) + \dots + \left(1 + \frac{(2n + 1)}{n^2}\right) = \left(n + 1\right)^2

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = \left(1 + \frac{3}{1}\right)\left(1 + \frac{5}{4}\right)\left(1 + \frac{7}{9}\right) + \dots + \left(1 + \frac{(2n + 1)}{n^2}\right) = \left(n + 1\right)^2

∴ n = 1

L.H.S. = 1 + 3/1 = 1 + 3 = 4

R.H.S. = (1 + 1)² = 2² = 4

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = \left(1 + \frac{3}{1}\right)\left(1 + \frac{5}{4}\right)\left(1 + \frac{7}{9}\right) + \dots + \left(1 + \frac{(2k + 1)}{k^2}\right) = \left(k + 1\right)^2 \qquad …. (i)

अब,

\begin{aligned} &= \left[\left(1 + \frac{3}{1}\right)\left(1 + \frac{5}{4}\right)\left(1 + \frac{7}{9}\right) + \dots \left(1 + \frac{(2k + 1)}{k^2}\right) \right] \left(1 + \frac{2(k + 1) + 1}{(k + 1)^2}\right) \\ &= \left[\left(1 + \frac{3}{1}\right)\left(1 + \frac{5}{4}\right)\left(1 + \frac{7}{9}\right) + \dots \left(1 + \frac{(2k + 1)}{k^2}\right) \right] \left(1 + \frac{2k + 2 + 1}{(k + 1)^2}\right) \qquad \dots \text{[eq(i) से]} \\ &= \left(k + 1\right)^2 + \left(1 + \frac{2k + 3}{(k + 1)^2}\right)\\ &= (k + 1)^2 + 2k + 3 \\ &= k^2 + 2k + 1 + 2k + 3 \\ &= k^2 + 4k + 4 \\ &= k^2 + 2\cdot k \cdot 2 + 2^2\\ &= (k + 2)^2\\ &= \left[(k + 1) + 2\right]^2 \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 14 :

\left(1 + \frac{1}{1}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(1 + \frac{1}{n}\right) = (n + 1)

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = \left(1 + \frac{1}{1}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{n}\right) = (n + 1)

∴ n = 1

L.H.S. = 1 + 1/1 = 1 + 1 = 2

R.H.S. = (1 + 1) = 2

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = \left(1 + \frac{1}{1}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{k}\right) = (k + 1)\qquad …. (i)

अब हम सिद्ध करेंगे किP(k + 1) भी सत्य है,

\begin{aligned} &= \left[\left(1 + \frac{1}{1}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{k}\right)\right]\left(1 + \frac{1}{k + 1}\right)\\ &= (k + 1)\left(1 + \frac{1}{k + 1}\right) \qquad \dots \text{[eq(i) से]}\\ &= \cancel{(k + 1)}\left(\frac{k + 1 + 1}{\cancel{k + 1}}\right)\\ &= \left[(k + 1) + 1\right] \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 15 :

1² + 3² + 5² + … + (2n – 1)² = \frac{n(2n – 1)(2n + 1)}{3}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1² + 3² + 5² + … + (2n – 1)² = \frac{n(2n – 1)(2n + 1)}{3}

∴ n = 1

L.H.S. = 1² = 1

R.H.S. = \frac{1\times (2\times 1 – 1)(2\times 1 + 1)}{3} = \frac{3}{3} = 1

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = 1² + 3² + 5² + … + (2k – 1)² = \frac{k(2k – 1)(2k + 1)}{3} …(i)

अब,

\begin{aligned} &= \left[1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + \left(2k – 1\right)^2\right] + \left(2(k+1) – 1\right)^2 \\ &= \left[\frac{k(2k – 1)(2k + 1)}{3}\right] + \left(2k + 2 – 1\right)^2 \qquad \dots \text{eq(i) से} \\ &= \left[\frac{k(2k – 1)(2k + 1) + 3\left(2k + 1\right)^2}{3}\right] \\ &= (2k + 1)\left[\frac{k(2k – 1) + 3\left(2k + 1\right)}{3}\right] \\ &= (2k + 1)\left[\frac{2k^2 + 5k + 3}{3}\right] \\ &= (2k + 1)\left[\frac{2k(k + 1) + 3(k + 1)}{3}\right] \\ &= \frac{(2k + 1)(2k + 3)(k + 1)}{3} \\ &= \frac{(k + 1)\left[2(k + 1) – 1\right]\left[2(k + 1) + 1\right]}{3} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 16 :

\frac{1}{1\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n – 2)(3n + 1)} = \frac{n}{(3n + 1)}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

$P(n) = \frac{1}{1\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n – 2)(3n + 1)} = \frac{n}{(3n + 1)}

∴ n = 1

L.H.S. = \frac{1}{1\cdot 4} = \frac{1}{4}

R.H.S. = \frac{1}{(3 \times 1 + 1)} = \frac{1}{4}

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = \frac{1}{1\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3k – 2)(3k + 1)} = \frac{k}{(3k + 1)}

अब हम सिद्ध करेंगे कि P(k + 1) भी सत्य है,

\begin{aligned} &= \left[\frac{1}{1\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3k – 2)(3k + 1)}\right] + \frac{1}{[3(k + 1) – 2][3(k+1) + 1]} \\ &= \frac{k}{(3k + 1)} + \frac{1}{(3k + 1)(3k + 4)} \qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= \frac{1}{3k + 1}\left[\frac{k(3k + 4) + 1}{3k + 4}\right] \\ &= \frac{3k^2 + 4k + 1}{(3k + 1)(3k + 4)} \\ &= \frac{3k(k + 1) + (k + 1)}{(3k + 1)(3k + 4)} \\ &= \frac{(3k + 1)(k + 1)}{(3k + 1)(3k + 4)} \\ &= \frac{(k + 1)}{(3k + 4)} \\ &= \frac{(k + 1)}{(3(k + 1) + 1)} \\ \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 17 :

\frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 9} + \dots + \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{n}{3(2n + 3)}

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 9} + \dots + \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{n}{3(2n + 3)}

∴ n = 1

L.H.S. = \frac{1}{3\cdot 5} = \frac{1}{15}

R.H.S. = \frac{1}{3(2\times 1 + 3)} = \frac{1}{15}

LHS = RHS

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 9} + \dots + \frac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{k}{3(2k + 3)}

अब हम सिद्ध करेंगे कि P(k + 1) भी सत्य है,

\begin{aligned} &= \left[ \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 9} + \dots + \frac{1}{(2k + 1)(2k + 3)}\right] + \frac{1}{(2(k + 1) + 1)(2(k + 1) + 3)}\\ &= \frac{k}{3(2k + 3)} + \frac{1}{(2k + 2 + 1)(2k + 2 + 3)}\qquad \text{[eq(i) से]}\\ &= \frac{1}{2k + 3}\left[\frac{k(2k + 5) + 3}{3(2k + 5)}\right] \\ &= \frac{2k^2 + 5k + 3}{3(2k + 5)(2k + 3)} \\ &= \frac{(k + 1)(2k + 3)}{3(2k + 5)(2k + 3)}\\ &= \frac{(k + 1)}{3(2k + 5)}\\ &= \frac{(k + 1)}{3(2(k + 1) + 3)} \end{aligned}

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 18 :

1 + 2 + 3 + … + n < \frac{1}{8}(2n + 1)²

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n < \frac{1}{8}(2n + 1)²

∴ n = 1

P(1) : 1 < \frac{1}{8}(2 × 1 + 1)² = \frac{9}{8}

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n < \frac{1}{8}(2n + 1)² … (i)

अब,

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) < \frac{1}{8}(2k + 1)² + (k + 1)

< \frac{\left(2k + 1\right)^2 + 8(k + 1)}{8}

< \frac{(2k)^2 + 2\cdot 2k \cdot 3 + 3^2}{8}

< \frac{(2k + 3)^2}{8}

< \frac{1}{8}\left[2(k + 1) + 1\right]^2

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 19 :

n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) : n(n + 1)(n + 5), जो 3 का गुणज है।

∴ n = 1

P(1) : 1 × (1 + 1)(1 + 5) = 1 × 2 × 6 = 12 जो 3 का गुणज है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : k(k + 1)(k + 5) जो 3 का गुणज है।

या k(k + 1)(k + 5) = 3m

या k(k² + 6k + 5) = 3m

या k³ + 6k² + 5k = 3m

अब,

⇒ (k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 5]

⇒ (k + 1)(k + 2)(k + 6)

⇒ (k + 1)(k² + 8k + 12)

⇒ k(k² + 8k + 12) + (k² + 8k + 12)

⇒ k³ + 8k² + 12k + k² + 8k + 12

⇒ k³ + 9k² + 20k + 12

⇒ k³ + 6k² + 3k² + 5k + 12

⇒ k³ + 6k² + 5k + 3k² + 12

⇒ 3m + 3(k² + 4)

⇒ 3(m + k² + 4) जो 3 का गुणज है।

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 20 :

10^2n – 1 + 1 संख्या 11 से भाज्य है।

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) : 10^2n – 1 + 1 संख्या 11 से भाज्य है।

∴ n = 1

P(1) : 10^{2 × 1 – 1} + 1 = 10 + 1 = 11 संख्या 11 से भाज्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : 10^2k – 1 + 1 संख्या 11 से भाज्य है।

या 10^2k – 1 + 1 = 11m

या 10^2k – 1 = 11m – 1

अब,

⇒ 10^{2(k + 1) – 1} + 1

⇒ 10^{2k + 2 – 1} + 1

⇒ 10^{(2k – 1) + 2} + 1

⇒ 10².10^(2k – 1) + 1

⇒ 100(11m – 1) + 1

⇒ 1100m – 100 + 1

⇒ 1100m – 99

⇒ 11(100m – 9)

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 21 :

x²ⁿ – y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = x²ⁿ – y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।

∴ n = 1

P(1) : x^2 ⋅ 1 – y^2 ⋅ 1 = x² – y² = (x + y)(x – y), (x + y) से भाज्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) = x^2k – y^2k, (x + y) से भाज्य है।

या x^2k – y^2k = m(x + y)

या x^2k = m(x + y) – y^2k

अब,

⇒ x^2(k + 1) – y^2(k+ 1)

⇒ x^2k + 2 – y^2k+ 2

⇒ x²x^2k – y^2k+ 2

⇒ x²(m(x + y) – y^2k) – y^2k+ 2

⇒ x².m(x + y) – x².y^2k – y²y^2k

⇒ x².m(x + y) – y^2k (x² – y²)

⇒ x².m(x + y) – y^2k (x – y)(x + y)

⇒ (x + y)[mx² – y^2k (x – y)], (x + y) से भाज्य है।

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 22 :

3^2n + 2 – 8n – 9, संख्या 8 से भाज्य है।

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) : 3^2n + 2 – 8n – 9, संख्या 8 से भाज्य है।

∴ n = 1

P(1) = 3^2⋅1 + 2 – 8 ⋅ 1 – 9 = 3⁴ – 8 – 9 = 81 – 17 = 64 , संख्या 8 से भाज्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : 3^2k + 2 – 8k – 9, संख्या 8 से भाज्य है।

या 3^2k + 2 – 8k – 9 = 8m

या 3^2k + 2 = 8m + 8k + 9

अब,

⇒ 3^{2(k + 1) + 2} – 8k – 9

⇒ 3^{2k + 2 + 2} – 8k – 9

⇒ 3².3^2k + 2 – 8k – 9

⇒ 3²(8m + 8k + 9) – 8k – 9

⇒ 9(8m + 8k + 9) – 8k – 9

⇒ 72m + 72k + 81 – 8k – 9

⇒ 72m + 64k + 72

⇒ 8(9m + 8k + 9), संख्या 8 से भाज्य है।

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 23 :

41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का एक गुणज है।

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) = 41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का एक गुणज है।

∴ n = 1

P(1) : 41¹ – 14¹ = 41 – 14 = 27, संख्या 27 का एक गुणज है।

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : 41^k – 14^k, संख्या 27 का एक गुणज है।

या 41^k – 14^k = 27m

या 41^k = 27m + 14^k

अब,

⇒ 41^k + 1 -14^k + 1

⇒ 41.41^k -14^k + 1

⇒ 41(27m + 14^k) – 14.14^k

⇒ 41.27m + 41.14^k – 14.14^k

⇒ 41.27m + 14^k(41 – 14)

⇒ 41.27m + 14^k.27

⇒ 27(41m + 14^k), संख्या 27 का एक गुणज है।

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

Question 24 :

(2n + 7) < (n + 3)²

Solution :

मान की दिया कथन P(n) है, अर्थात्

P(n) : (2n + 7) < (n + 3)²

∴ n = 1

P(n), n = 1 के लिए सत्य है।

किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिए कि P(k) सत्य है, अर्थात

P(k) : (2k + 7) < (k + 3)² … (i)

अब,

P(k + 1) : 2(k + 1) + 7

⇒ 2k + 2 + 7

⇒ (2k + 7) + 2

< (k + 3)² + 2 … [eq(i) से]

< k² + 6k + 9 + 2

< k² + 6k + 11

∵ k² + 6k + 11 < k² + 8k + 16

∴ 2(k + 1) + 7 < [(k + 1) + 3]²

[(k + 1) + 3]² = (k + 4)² = k² + 8k + 16

इस प्रकार, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।

अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∈ N, n के सभी मूल्यों के लिए सत्य है।

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अध्याय – 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction) का हल (Solution) for NCERT full detail on pdf

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गणित (Math) कक्षा 11 | अध्याय – 4 | गणितीय आगमन का सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction) Solution

अध्याय – 4
गणितीय आगमन का सिद्धांत
(Principle of Mathematical Induction)

प्रश्ननावली 4.1

Question 1 :

Question 2 :

Question 3 :

Question 4 :

Question 5 :

Question 6 :

Question 7 :

Question 8 :

Question 9 :

Question 10 :

Question 11 :

Question 12 :

Question 13 :

Question 14 :

Question 15 :

Question 16 :

Question 17 :

Question 18 :

Question 19 :

Question 20 :

Question 21 :

Question 22 :

Question 23 :

Question 24 :

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